Matemática: Número, lenguaje y representación

Solo el lenguaje humano puede albergar algo tan abstracto e ideal como el número, tanto es que necesita más de cuatro años de desarrollo y estimulación para comenzar a dar cuenta de ese esquivo concepto.

Por Por Alejandro Lino

Muchas especies animales poseen formas más o menos rudimentarias de lenguaje, unas cuantas utilizan herramientas y muy, pero muy pocas pueden transmitir a las jóvenes generaciones nuevos conocimientos. De todas ellas, de todos los seres vivientes conocidos, el humano es el único animal que cuenta.

Hablar, por ejemplo, de los números naturales es casi un exabrupto intelectual, puesto que nada hay de natural en ellos.  El número no es consustancial al espíritu humano ni es parte de su naturaleza. Es producto de una laboriosa creación a la que llamamos cultura. Es una noción conceptual, un ente ideal que solo habita la mente humana y si de golpe desapareciera toda la humanidad del universo, el número desaparecería con ella.  En la naturaleza no existe el número, nadie se cruza con un dos ni saluda a un siete ni viaja en colectivo con un cuatro. Ciertamente en el mundo natural existe una innumerable cantidad de cosas, pero no los números, ellos no pertenecen a la naturaleza.

Comenzando a contar

Vaya uno a saber quien fue el primero en contar y la forma en la que lo habrá hecho. Lo cierto es que la necesidad de contar se remonta a los propios orígenes de la especie  homo, pero especialmente a aquellos remotos tiempos en los que el acceso al lenguaje permitió el gran salto cualitativo hacia la construcción de la humanidad.

El lenguaje y la capacidad de representación provocaron la gran revolución intelectual que transformó al hombre primitivo en sujeto humano. El mundo simbólico comenzó a desplegarse vertiginosamente y la creación de cultura fue la consecuencia inevitable de una vía que jamás tendría retorno.

En el hombre devenido en humano el mundo natural cede su supremacía ante el universo cultural, la naturaleza es vaciada del corpus humano y una especie animal debilucha y de bajísima natalidad logra lo que ninguna otra en este planeta, ... detener la evolución. Sin embargo el camino no fue sencillo. Los cambios de los distintos grupos humanos no fueron simultáneos y las diferentes culturas primitivas atestiguan la diversidad de caminos empleados. De todas formas, bastaron un par de cientos de miles de años para que la gran transformación se completara, un tiempo realmente breve si consideramos la edad de la Tierra y la duración de las distintas eras por las que atravesó. Los dinosaurios reinaron en el planeta por unos trescientos millones de años y las cucarachas siguen haciendo de las suyas desde hace unos mil millones.

Sea como fuere, alguna vez se empezó a contar y desde entonces nunca se dejó de hacerlo. Ahora que, las distintas formas en las que empezó a hacerse, forman parte de otra cuestión. Una vieja historia de aventureros de principios del siglo veinte, relata un encuentro con un grupo de aborígenes australianos del desierto cuya economía de subsistencia se basaba casi exclusivamente en el canguro. Según nos han contado, estos animalitos sólo van en grupos familiares de no más de tres integrantes, a excepción de los momentos en los que varios grupos se juntan en un abrevadero. Pues bien, el relato cuenta la sorpresa de los forasteros al enterarse por medio de un intérprete que la manera de contar más familiar de estos australianos era: uno, dos, tres, muchos.

Más allá de no poder dar fe de la veracidad absoluta de lo relatado, nos resulta perfectamente factible que los primeros rudimentos de conteo hayan tenido una forma similar. Lo que sí es seguro, es que este sistema podría ser considerado maravilloso por muchos de nuestros alumnos.

El siguiente paso: la escritura

Una cosa es darle un nombre a cada número y otra muy distinta es la forma en la que podemos escribirlo. Es cierto que resulta totalmente factible escribir el nombre del número en cuestión sin recurrir a ningún sistema especial. Por ejemplo, si escribimos cientoveinticinco no parece haber ningún problema para entender a qué cantidad nos referimos. En cualquier idioma, lengua o dialecto cada número tiene un nombre y este nombre puede ser escrito.

Si nuestros amigos australianos hubieran sabido escribir, no habrían tenido el menor inconveniente con su sistema de numeración. Es más, parece ser que los primitivos habitantes de Manchuria utilizaron este sistema, asignando un ideograma a cada uno de los principales números de su sistema de conteo.

El problema de este método es la extensión. Para cada nuevo número hay que recordar un nuevo signo y, por supuesto, no hay memoria que pueda resistirlo. 

El cuadro que sigue muestra algunos de los símbolos numéricos de la escritura china asociados a nuestro sistema de numeración, y en ellos pueden observarse la influencia de la antigua escritura.

  


Por lo tanto, una opción lógica y natural para salir de este atolladero, consistió en la acumulación de signos iguales para expresar una cantidad. Es algo simple, rudimentario y universal. Supongamos que * representa a la unidad , entonces ** significa dos, *** significa tres y así podríamos seguir hasta donde queramos.

De esta manera ************************** significa veintiséis y podemos agregar tantos signos como seamos capaces de contar. Sumar y restar tampoco significan un problema, pues sólo es cuestión de agregar o quitar la cantidad deseada de signos.

Claro está, leer una cantidad de un par de cientos puede resultar algo engorroso, pues el solo hecho de saltarnos un signo involuntariamente, nos llevará a leer una cantidad equivocada. Para evitar este tipo de trastornos, parece naturalmente adecuado agrupar a los signos en conjuntos de igual cantidad de elementos, por ejemplo, de a cinco.

 El número veintiséis podría escribirse ahora de esta manera:  *****  *****  *****  *****  *****  *

De este modo, aún sin importar el orden en el que coloquemos la unidad suelta, resulta mucho más sencillo leer el número en cuestión. Tenemos ahora entre manos un sistema simple y de relativa fácil lectura, que todos los que jugamos al truco conocemos más que bien.

Por supuesto que la agrupación de elementos puede ser tan arbitraria como uno quiera. Podríamos utilizar el sistema de los presos, tachando rayitas de a siete para contar las semanas y los días que han pasado o que faltan para un determinado evento. O agrupar de a diez para contar monedas o lo que se nos ocurra.

Ahora bien, un número muy grande puede requerir una gran cantidad de conjuntos para ser escrito, lo que vuelve nuevamente engorroso al sistema. Sería mejor asignar a cada conjunto de unidades un signo particular, para simplificar la escritura. Podríamos escribir : @ = *****

Entonces, nuestro número veintiséis sería:  @ @ @ @ *

Los pasos siguientes ya son perfectamente imaginables, agrupando los nuevos símbolos en nuevos conjuntos podemos establecer múltiplos a los que pueden darse también signos particulares y así podemos llegar hasta donde se nos ocurra, necesitemos o tengamos ganas.

A decir verdad, los sumerios y babilonios utilizaron este sistema de escritura y numeración, que ha llegado hasta nuestros días grabado en tablillas de barro o cerámica con signos cuneiformes. A continuación les damos un ejemplo:

 

Los sistemas que hemos analizado hasta ahora son llamados no posicionales, esto es debido a que no hace falta respetar un orden determinado en la posición de los signos numéricos. Cualquiera sea el orden en que los escribamos, leeremos siempre el mismo número. Para continuar con nuestro ejemplo:

                                                                           @ @ *  significa once del mismo modo que  @ * @    o  * @ @

Este tipo de sistema ofrece la gran ventaja de evitar los equívocos. No hay forma de leer otro número que no sea el once cuando utilizamos los tres signos anteriores, sea como fuere que los ordenemos. La gran desventaja  resulta también ser casi evidente, a medida que aumenta el valor numérico, también lo hace la secuencia de signos que deben escribirse, tornando engorrosa e insegura la tarea. Si se intenta solucionarlo mediante la técnica de asignar símbolos diferentes a cada nuevo conjunto de conjuntos de signos, agregaremos al inconveniente mencionado el de tener que memorizar una cantidad indefinida de nuevos signos para escribir a los grandes números. Este es el inconveniente que  tuvieron los Fenicios y algo más tarde los Griegos al utilizar las letras de sus respectivos alfabetos para escribir números. Como evidentemente las letras no alcanzaban para todas las agrupaciones que debían establecerse, tuvieron que inventar una gran cantidad de nuevos símbolos.

Es más, algunas secuencias de letras representaban tanto a números como a palabras lo que además incluyó un trastorno adicional. Tanto, que las jerarquías religiosas hebreas instituyeron el arte de la gematría poco tiempo después de adoptar el sistema griego. Este nuevo arte tenía como misión develar los números ocultos en las sagradas escrituras, indicando qué palabras encerraban además números divinos en los mensajes de Dios.

Este es el origen de esa pseudociencia que hoy llaman numerología, a la que un gran número de ingenuos siguen siendo afectos. Pero éste es ya otro tema.

Actividades

COMPRENDIENDO EL SISTEMA DECIMAL

• Para poder comprender como se genera un sistema de numeración posicional analicemos nuestro sistema de uso. El sistema decimal cuenta con diez símbolos (incluyendo el cero). Este conjunto de símbolos se conoce como notación arábiga.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

• Los símbolos se escriben en línea horizontal, sin dejar espacios entre ellos. Los símbolos que representan grupos más grandes se ubican a la izquierda.


 Cuando se agota la cantidad de símbolos en una posición se agrega una unidad a la siguiente. Cada posición (de derecha a izquierda) corresponde a una potencia entera de 10 mayor, partiendo del exponente 0.

Así entonces en nuestro ejemplo:

  

Para crear un sistema de numeración comparable al nuestro se deben definir el conjunto de símbolos a emplear (incluyendo el cero); la forma en que los símbolos deben disponerse; y la cantidad de objetos que definen el orden de cantidad siguiente. Un sistema de este tipo se llama simbólico-posicional.

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Alejandro Lino es Profesor de Matemática. Actualmente es Rector en la Escuela N˚9 D.E. 12 "Justo José de Urquiza" (CABA).