ESTRATEGIAS Y PROCEDIMIENTO DEL CÁLCULO: ¿PARA QUÉ?

Es fundamental lograr que todos los niños dispongan de esos procedimientos y construyan comprensivamente los algoritmos.

Por Claudia Harguindeguy
La matemática no incluye la operación de contar dentro de la aritmética como creencia formal; sin embargo, es el estado primitivo de cualquier operación y el que facilita al alumno buscar estrategias diferentes ante cálculos diversos. Operar implica desarrollar pensamiento desde el lenguaje, la abstracción y la simbolización numérica.

Para pensar un espacio matemático deberíamos romper con las vallas de la lógica en términos coloquiales. Ejemplo: mecanizar la resta, ya que de esa manera el niño pierda la posibilidad de utilizar y redefinir estrategias que estén desprovistas de la enseñanza formal. Cuando el alumno puede vehiculizar la suma para alcanzar un resultado.

Si bien un niño despliega variados procedimientos cuando opera, la pregunta que debemos hacernos es qué sucede cuando le planteamos situaciones en la cual exigimos que realicen algoritmos para arribar a la respuesta. Y es allí donde olvidamos que con un algoritmo, se utilizan procedimientos del sistema de numeración que superan diferentes niveles estratégicos que el alumno no logra disociar de la comprensión y significado de las operaciones.

Una Rayuela muy particular

En el inicio de ciclo pasado me tocó supervisar un proyecto con alumnos de primer grado. La propuesta inicial fue armar diferentes juegos con tiza en el piso para identificar números. Se armaron juegos de la Oca, rayuelas, calendarios incompletos, etc. Y al término de la semana, la seño dispuso en una mesa carteles con números para armar de memoria las distintas actividades lúdicas. Una alumna pidió hacer la rayuela para comenzar a jugar y a resolver otras situaciones planificadas por la docente.
Observen la foto (que no está bajada de internet) y verán cómo ubicó los números de la rayuela.

Fue realmente maravilloso porque la niña No conocía la convención de nuestra escritura y por ende no podía dar cuenta de un orden establecido. Cada vez que le preguntaban si creía haberlo hecho bien, ella recitaba en voz alta 1, 2,…9 sin omitir ni saltear ningún número de la serie. 

Hasta mediados de año, la niña operó por conteo. Los recursos de cálculo fueron soportes concretos y solo logra resolver mentalmente sumas equivalentes que tiene en su repertorio memorístico. Sin una propuesta constructivista nunca hubiéramos sabido cuál era su nivel de representación.

¿Qué debemos tener presente para lograr una secuencia didáctica asociada a la génesis de pensamiento?

Para que el niño logre utilizar estrategias de cálculos, la secuencia didáctica necesita definir que los algoritmos son términos que permiten obtener resultados, independientemente a los números que intervienen. 
Sabemos que los alumnos deben disponer de los mismos para resolver problemas y cálculos.
 
Los niños resuelven utilizando implícitamente propiedades sin considerarlas como tales. Ejemplo: ante la propuesta 3+7=10 el alumno piensa en 7+3= 10 porque le es más sencillo llegar al resultado por conteo. 7, ocho, nueve, diez. Lo real es que el niño Desconoce la propiedad conmutativa pero la tiene como repertorio estratégico.

No es la idea enseñar estructuras aditivas de memoria pero sabemos que algunas forman parte de un repertorio memorístico que es base para la resolución de estrategias de cálculos. Lo importante es que cada alumno encuentre las mismas aunque su recurso sea la Imitación de las respuestas de otros. Esto le permite al niño dar un lugar de reconocimiento a la argumentación de sus pares para luego apropiarse de ellas.

¿Qué recursos puede asimilar el niño en función de lo antes dicho? Principalmente el alumno reconoce como un cálculo simple aquel que involucra un Posterior o Anterior a otro número. Esto significa X+1 o X-1. Porque es el estado primitivo del número es su carácter ordinal. En segundo lugar el niño reconoce y comprende las regularidades Ejemplo: 3+3; 5+5; 10+10. Kamii los llamaba “Los dobles”, más aún si involucran el 2, el 5, o el 10. Ya que son fundamentales para organizar la estructura operatoria.

Supongamos que la operación es 10-4 no solo implica para el niño, tachar o separar 4 de los 10 objetos como cantidades perdidas ya que el alumno en su inicio retrocede de a 1, cuatro veces, dándole al número un carácter ordinal. 

Sobre la base de las operaciones con dobles, el alumno es capaz de buscar diferentes estrategias. Ejemplo: ¿Cuánto es 4+5? Y rápidamente contestarán 9 porque 4+ (4+1)= 8 +1 o da 9. Resuelven a partir de la propiedad asociativa pero resuelven sin tenerla en cuenta tal cual la escriben. Siempre responden desde la regularidad.

En un artículo anterior, hice mención al recurso que el alumno emplea al contar. En principio enumera y le adjudica un número a cada elemento. Pero al no tener noción ni conservación de la cantidad la totalidad de elementos rige para el niño sólo en el último objeto que marca la cantidad final. La idea de totalidad se logra cuando el alumno entiende un sistema de numeración por fuera de su carácter ordinal y utiliza el conteo no solo por el recitado en sí mismo sino como cardinal de un conjunto de elementos.

Cuando se opera sucede algo similar y seguramente me podrán decir que soy demasiado sutil al expresar esta idea, pero quiero darla a conocer para que entendamos juntos la importancia de la estrategia del cálculo. ¿Cuántas veces nos preguntamos qué implica para un niño de 6 años que: 2+3= 5 Son dos totalidades (subconjuntos) que conforman una nueva cantidad. Para el niño el 5 no incluye las cantidades anteriores sino que, esa igualdad, representan una comparación. Aunque presentemos la convención de los signos +, =, etc. los alumnos no reconocen la relación de la suma y no logran otorgarle a esa relación el valor de parte que conforma un todo.

¿Cómo logra entonces el niño aprehender la relación jerárquica de los significados matemáticas?  Cuando resuelven una situación problemáticas en la que se que contextualizan las cantidades y pueden representar gráficamente o de manera concreta.
Recién en ese momento el niño calcula par arribar a un resultado final.

¿Por qué motivo hallamos en la mayoría de los cuadernos un abanico de cuentas presentadas en forma vertical como un contenido complejo? ¿Lo es? Sin lugar a dudas tiene cierta complejidad, ya que el niño no conoce ni tiene el dominio del funcionamiento de un algoritmo con números de más de una cifra al cual no puede representar mentalmente. Y mucho menos cuando las únicas actividades que se les presentan son las famosas operaciones paradas que tienen solo como soporte el procedimiento escrito, apoyado en las reglas de escritura de números (numeración por posición).

Cómo es posible disociar un número de dos cifras sin argumentar el valor posicional y su descomposición en decenas y unidades, cuando el alumno es capaz de construir una respuesta correcta cuando logra disponer de las estrategias para organizar mentalmente el algoritmo como cifras indisociables porque no se pierde la esencia del valor absoluto.

Existen variadas estrategias y cada una depende de cada niño y de su forma de estructurarlo mentalmente. Cuando las propuestas sean más complejas e impliquen operar sumas o restas el alumno elegirá cualquier recurso cognitivo para ir conformando y descomponiendo las decenas o centenas que se necesiten transformar. Recién en esta instancia el niño logra conocer el dominio del funcionamiento de un algoritmo y utiliza diferentes repertorios que están a su disponibilidad.
 
Aceptar el razonamiento del alumno es tan importante como la guía del Docente, para lograr las propiedades propias de cálculo. Es esa viabilidad la que se presenta ante el niño, posibilitando la génesis individual de su pensamiento y el conocimiento social antes de la transformación al Saber escolarizado. Desde el inicio del cálculo las propuestas deben contribuir al desarrollo de competencias racionales en los alumnos y colabora con la formación de un pensamiento crítico y lógico.

En síntesis: el espacio áulico necesita de un docente generador de posibilidades, en el cual se puedan desarrollar y producir pensamiento, a través de argumentos que en principio se negocian y luego van en busca de un criterio matemático. 
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Claudia Harguindeguy es es Profesora del Nivel Primario y Licenciada en Gestión Educativa. Coordinadora del Área de Matemática desde el nivel inicial hasta el nivel secundario de la institución educativa Centro Cultural Haedo, provincia de Buenos Aires.